PROBLEMELE INFINTEZIMALELOR
Pentru a înțelege de ce conflictul legat de indivizibili a devenit atât de acut trebuie să privim mai îndeaproape noțiunea în sine, care pare simplă, dar e problematică. În cea mai simplă formă, doctrina susține că fiecare segment de dreaptă e alcătuit dintr-un șir de puncte, sau „indivizibili”, care sunt cărămizile constitutive ale segmentului și nu pot fi divizate. Intuitiv, pare plauzibil, dar rămân multe semne de întrebare. De pildă, dacă un segment e alcătuit din indivizibili, cât de mulți și cât de mari sunt ei? O posibilitate e să existe un număr foarte mare de asemenea puncte într-un segment, să zicem un miliard de miliarde. În acest caz, mărimea fiecărui indivizibil este o miliardime de miliardime din segmentul inițial, ceva într-adevăr foarte mic.
Problema e că orice mărime strict pozitivă, chiar și una foarte mică, poate fi mereu divizată. Am putea, de pildă, să divizăm segmentul inițial în două părți egale, să le divizăm pe fiecare într-un miliard de miliarde de părți, ajungând la segmente a căror dimensiune e jumătate din a „indivizibililor” inițiali. Așadar, presupușii noștri indivizibili sunt de fapt divizibili, iar ipoteza că ei sunt atomi ireductibili ai segmentului continuu e falsă. Cealaltă posibilitate e ca într-un segment să nu fie un „număr foarte mare” de indivizibili, ci un număr infinit. Dar dacă fiecare dintre acești indivizibili are o mărime strict pozitivă, atunci punând cap la cap un număr infinit de indivizibili ajungem la o lungime infinită, ceea ce contrazice presupunerea că segmentul e finit. Trebuie deci să conchidem că indivizibilii n-au o mărime strict pozitivă, adică mărimea lor e zero. Din păcate, după cum știm, 0 + 0 = 0, ceea ce înseamnă că oricâți indivizibili de mărimea zero am aduna, mărimea lor însumată va fi tot zero și nu vom ajunge niciodată la lungimea segmentului inițial. Și în acest caz presupunerea noastră că segmentul continuu e compus din indivizibili ne duce la o contradicție. Grecii antici cunoșteau bine aceste probleme, iar filozoful Zenon din Eleea (secolul V î.Cr.) le-a prezentat într-o serie de paradoxuri cu nume pitorești. „Ahile și broasca țestoasă”, de pildă, demonstrează că Ahile cel iute de picior nu va ajunge din urmă broasca țestoasă, chit că aceasta e mult mai lentă, dacă Ahile trebuie să străbată întâi o jumătate din distanța care îi separă, un sfert, o optime etc. Din experiență, știm totuși că Ahile își ajunge din urmă concurentul mai lent, ceea ce conduce la un paradox.
Paradoxul „Săgeții” lui Zenon spune că un obiect care umple un spațiu egal cu el însuși se află în repaus. Acest lucru e valabil pentru o săgeată în fiecare moment al zborului ei, dar ajungem la concluzia paradoxală că săgeata nu se mișcă. Deși aparent simple, problemele lui Zenon, bazate pe contradicțiile inerente provocate de indivizibili, se dovedesc extrem de greu de rezolvat. Dar dificultățile nu se opresc aici, fiindcă doctrina indivizibililor se lovește și de faptul că unele mărimi sunt incomensurabile una cu altele. Să considerăm, de pildă, două segmente cu lungimile de 3 și 5. Evident, lungimea 1 e cuprinsă exact de trei ori în segmentul scurt și de 5 ori în cel lung. Pentru că e cuprinsă de un număr întreg de ori în ambele, numim lungimea 1 măsura comună a segmentelor de lungime 3 și 5.
În mod asemănător, să considerăm segmente cu lungimile de [simboluri matematice ilizibile în OCR]. În acest caz măsura comună e [simbol matematic ilizibil], care este cuprinsă de 7 ori în [simbol matematic] și de 9 ori în [simbol matematic]. Dar nu mai e valabilă dacă luăm în considerare latura unui pătrat și diagonala lui. În termeni... |
Adevăr Divin
